索伯算子 Sobel Operator 是影像處理中用來做邊緣檢測的一種方法。讀者可以直觀的想像，我們能清楚鮮明地看到照片中的物體，是因為他光影變化明顯，這光影變化在術語上就是所謂「梯度」(gradient)，找到梯度之後我們就能更方便進行例如物品識別之類的後續工作，而 sobel operator 就是方便我們計算梯度的工具。
具體做法，是將一個 3x3 的遮罩矩陣 sobel operator，在影像上作卷積(convolution，或迴積。哪個翻譯更妥當？請賜教)，就會得到自然影像的梯度變化。經過 sobel operation 之後，將大於設定的門檻值(threshold)，也就是變化明顯的部分留下來，得到我們要的邊緣。
這裡產生兩個問題。第一個，原來 Sobel operator 的中文維基百科和英文維基百科條目，對於 sobel operator 的矩陣有相反的寫法，這涉及程式計算梯度方向的歧異，請個別參考圖一和圖二，誰對？
第二個問題，關於影像與 sobel operator 乘積的算式也有歧異。按照英文維基百科 Kernel (image)其中一則說明，sobel operator 應該是採用 Hadamard product，也就是左上乘左上、依序一一對應相乘。請參考圖三所示。另外一種，是英文維基百科 Kernel (image) 後續的說明，採用 kernel convolution 的方法，卻是右下乘左上，請參考圖四所示。這不只涉及到 convolution 運算的問題，也涉及到梯度計算正確與否的問題。
矩陣相反、算式相反，就有四種可能組合，導致截然不同的計算結果。如果不討論清楚，就會讓我們在實作程式時莫衷一是，更枉論有可靠依據判斷程式結果是否正確。<del>為什麼工程需要數學？因為實務上太多不可預測不可控制的東西。人類自古以來天天盼著能掌握大自然運作的原理，而人類偉大的地方之一，就是找到足夠可靠的地基，將系統架在堪稱可靠的數學跟邏輯推演上面。測試、試誤，對人類經驗的累積非常重要，兩者不可偏廢，因為我們既是理型的存有，更面對現象的世界。</del>
我尋著維基百科的指引，找到發明 sobel operator 的 Dr. Irwin Sobel 的一篇論文，〈An Isotropic 3x3 Image Gradient Operator〉。原來 sobel operator 是如何推演、如何有上述的矩陣形式與計算，才能知道兩個問題的歧異與適用的地方。
論文不長，我稍讀了一下論文，大概意思是說，一個自然影像上面會有漸進的亮度變化，計算這個變化量就是梯度(gradient)。Sobel 最早提出 sobel 運算的概念，是為了改進當時流行的 Roberts Cross 方法，以便更有效的計算梯度。
請讀者參考圖五該論文中的八鄰圖，sobel operator 計算中央像素 e 的梯度的方法，是先計算中央像素 e 周圍的四個方向梯度，予以加總取平均後，得到中央像素 e 的梯度方向平均值。
具體而言，Sobel 將中央像素 e 周圍八個鄰近像素，兩兩相對，分為四組：即 a-i, b-h, c-g, f-d，將每組像素組成向量並計算方向導數 (directional derivation)，再個別乘上一個該方向的單位向量(derivation’s direction)，以得到梯度。
論文定義方向導數：兩像素的差值，再除上兩像素的距離。上下左右四鄰的距離為 2，對角線的距離為 4，所以有 (c-g)/4, (a-i)/4, (b-h)/2, (f-d)/2；
個別再乘上四個單位向量的方向導數，就是 c-g 組的 45 度的 (1,1)，a-i 組 315 度的 (-1, 1)，b-h 組 0 度的 (0, 1), f-d 組 90 度的 (1, 0)。
所以我們得到四個方向的梯度總和
G = (c-g)/4 * [ 1, 1] + (a-i)/4 * [-1, 1] + (b-h)/2 * [ 0, 1] + (f-d)/2 * [ 1, 0]
整理一下：G = [(c-g-a+i)/4 + (f-d)/2, (c-g+a-i)/4 + (b-h)/2]
論文中說明為了電腦計算方便，同乘 4，得到
G’ = 4*G = [c-g-a+i + 2*(f-d), c-g+a-i + 2*(b-h)]
如果我們用矩陣形式化簡，就得到第一種矩陣，請看圖六：
並請參考圖六的矩陣形式以及原始的算式，sobel operator 在此矩陣形式下，就是用 Hadamard Product 的方式計算，這才是最原始的 Sobel operator。
其次，如果引入 kernel convolution 的概念去計算，就為了遷就圖四所說的 kernel convolution 右下左上的計算方式，只好把矩陣轉過來，變成如圖三所示的英文維基百科第二種矩陣，才會得到正確的結果。
因此，如果要方便撰寫程式，採用 Hadamard Product 的方式實作，就用第一種 sobel operator。如果要用 kernel convolution 的概念，就用第二種矩陣形式，且如圖四所示右下乘左上開始。
附註：Sobel operator，很多人會把 sobel 唸成「索貝爾」這是錯誤的發音。應當要唸成如「索伯」。
附註：Dr. Irwin Sobel 的論文簡潔易懂，層次分明，非常精彩。有興趣的讀者不妨細讀〈An Isotropic 3x3 Image Gradient Operator〉。
